천진법과 만진법 서로 바꾸기

SI 등 국제 표준은 1 000진법을 따른다. 그러나 한국어는 한자의 영향으로 10 000진법을 쓴다. 그래서 1 000진법에 영 서툴다. 이는 앞으로도 한국어를 쓰는 사람을 쭉 괴롭힐 것이다. 또한 국제 사회에 한국이 합류하는데 나름대로 벽이 될 것이다.

솔직히 말하면, 한국은 1 000진법을 익히는 것을 그다지 대수롭지 않게 여기는 것 같다. 개인적으로는 1 000진법은 나라적인 차원에서 힘을 써줘도 모자랄 판이라고 본다.

진법을 바꾸는 방법은 크게 2 가지가 있다. 단위를 서로 이어 외우는 것, 그 때 그 때 셈하는 것이다. 사실 그 때 그 때 셈할 때도 어느 정도 외우기는 필요하다.

가장 간단한 방법은 단위를 서로 이어 외워두는 것이다. 그리고 외운 것을 바탕으로 적당히 셈하는 것이다:

  • 싸우즌드(킬로) = 1천
  • 밀리언(메가) = 100만
  • 빌리언(기가) = 10억
  • 트릴리언(테라) = 1조
  • 쿼드릴리언(페타) = 1000조
  • 만 = 10 싸우즌드(킬로)
  • 억 = 100 밀리언(메가)
  • 조 = 1 트릴리언(테라)
  • 경 = 10 쿼드릴리언(페타)

마치 구구단을 외워 쓰는 것과 비슷한 것으로 보면 된다. 때로는 가장 단순한게 가장 좋은 것이다. 사실, 이는 보기보다 엄청나게 효율적이기까지 하다. 오죽하면 CPU에도 캐시를 만들어 두어 자주 쓰는 정보를 넣어둘까.

1 000진법의 수는 때로는 세 자리씩 끊어진 인도 숫자로, 때로는 단위와 함께 나타내진다. 10 000진법은 대개 단위를 함께 쓰는 것으로만 나타내진다. 어느 쪽이든 단위와 함께 나오면 그냥 곧바로 이어진 단위에 맞춰 서로 바꾸면 된다.

예를 들어, 12 밀리언(메가)은 1 밀리언(메가)이 100만이니, 100만에 12를 곱하여 1200만임을 알아낼 수 있다. 마찬가지로 160억을 보면, 1억은 100 밀리언(메가)이니 100 밀리언(메가)에 160을 곱해 16 000 밀리언(메가), 곧 16 빌리언(기가)임을 알 수 있다.

인도 숫자로만 이루어져 있으면 어떻게 하면 될까? 먼저, 1 000진법으로 읽어낸 뒤 10 000진법으로 바꾸는 방법이 있다. 인도 숫자를 1 000진법으로 읽어내는 것은 아주 쉽다. 그냥 끊어져 있는 곳마다 싸우즌드(킬로), 밀리언(메가), 빌리언(기가) 식으로 알맞게 읽어나가면 된다. 예를 들어 12 000 000은 12(밀리언(메가))000(싸우즌드(킬로))000처럼 읽어나가면 된다. (예를 들어 600 싸우즌드(메가) * 2와 같은 셈을 하여) 12 000 싸우즌드(킬로)라면, 12(밀리언(메가))000 싸우즌드(킬로)로 보면 된다. 그 뒤에 연결된 만진법에 맞춰 셈하면 된다. 예를 들어 100 000은 100(싸우즌드(킬로))000이고, 10 싸우즌드(킬로)는 1만이니 이는 곧 10만이다.

사실 이보다 쉬운 방법은 아예 냅다 처음부터 외워둔 10 000진법 그 자체로 읽어나가는 것이다. 예를 들어 12 000 000은 12(100만)000(1천)000처럼 읽어나가면 된다. 12 * 100만이니 1200만이다.

끊어져 있는 곳의 개수와 단위를 이어 외워두는 방법도 있다. 그냥 끊어져 있는 곳을 단순하게 1, 2, 3.. 세어나가고 그 수에 맞춰 단위를 알아내면 된다:

  • 0: 없음
  • 1: 싸우즌드(킬로), 천
  • 2: 밀리언(메가), 100만
  • 3: 빌리언(기가), 10억
  • 4: 트릴리언(테라), 1조
  • 5: 쿼드릴리언(페타), 1000조

예를 들어 12 000 000은 12(2)000(1)000 두 군데가 끊겨 있으니 12 밀리언(메가) 혹은 1200만임을 알 수 있다.

끊어진 곳을 볼 때마다 자릿수의 개수를 센다는 느낌으로 3, 6, 9.. 식으로 세어나갈 수도 있다:

  • 0: 없음
  • 3: 싸우즌드(킬로), 천
  • 6: 밀리언(메가), 100만
  • 9: 빌리언(기가), 10억
  • 12: 트릴리언(테라), 1조
  • 15: 쿼드릴리언(페타), 1000조

이렇게 하면 자릿수의 개수를 정확히 알아낼 수 있게 된다. 이는 1 000진법과 10 000진법을 하나하나 셈하여 서로 바꿀 때 매우 쓸모가 있다.

이제는 근본적으로 다른 방법, 그 때 그 때 계산하는 방법을 보겠다. 어디서부터 시작해야하는가?

일단 수를 자리에 맞춰 쓰는 방법(수가 써진 자리에 따라 크기가 달라지는 것), 사용하는 숫자의 개수(진법), 지수는 서로 이어져서 만들어진 개념이다.

1 000 = 10^3이고, 10 000 = 10^4으로, 두 진법은 10진법을 기본으로 하는 진법이다. 따라서 1 000진법과 10 000진법은 10을 밑으로 하여 지수만 다루면 된다. 그렇기에 10이 밑인 로그, 보통 아직까지는 상용로그가 불리는(상용常用이란 늘 쓰이는, 흔히 쓰인다는 말이다. 아직 10진법이 말하자면 상용 진법인 셈이라 상용로그라 하면 진법에 맞춰 10이 밑인 로그를 말한다. 하지만 언젠가 늘 쓰는 진법이 바뀌면 상용로그 역시 자연스럽게 그 수를 밑으로 로그를 뜻하게 될 것이다.) 로그를 쓰면 한결 쉬워진다. 편의상 그냥 로그라고 부르겠다.

10진법의 수에 10이 밑인 로그를 씌워 그 지표를 3으로 나눠서 다루는 것이 1 000진법, 4로 나누어 다루는 것이 10 000진법이다. 따라서 우리는 지표값을 알아야 진법을 서로 바꿀 수 있다.

로그의 지표 = 수의 자릿수의 개수 - 1이다. 1이 차이나는 이유는 로그의 지표는 0부터 시작하지만 자릿수를 셀 때는 보통 1부터 시작하기 때문이다.

정리하면 우리가 실제로 필요한 것은 로그의 지표이고, 그 값은 자릿수의 개수로부터 알아낼 수 있다. 따라서 모든 것의 시작은 자릿수를 세어나가는 것이라고 할 수 있다. 이는 3*끊어진 곳의 개수 + 가장 높은 자릿수가 있는 덩이의 자릿수의 개수이다.

아라비아 숫자가 아니라 단위로 써있다면 그대로 단위를 끊어진 개수로 생각하면 된다. 예를 들어 34 쿼드릴리언(페타)이라면 총 자릿수의 개수는 3*5 + 2 - 1 = 16이다.

식을 완전히 정리하면 다음과 같다:
(3*끊어진 곳의 개수 + 가장 높은 자릿수가 있는 덩이의 자릿수의 개수 - 1) / 4

그럼 이제 4로 나누었을 때 값을 어떻게 써야 할까? 몫은 10 000진법에, 나머지는 10진법에 쓰면 된다:

몫:

  • 0: 없음
  • 1: 만
  • 2: 억
  • 3: 조
  • 4: 경

나머지:

  • 0: 일
  • 1: 십
  • 2: 백
  • 3: 천

차례대로 예시들을 보자:

1
(3*0 + 1 - 1) / 4 = 0...0
1

12
(3*0 + 2 - 1) / 4 = 0...1
12

123
(3*0 + 3 - 1) / 4 = 0...2
123

1234
(3*1 + 1 - 1) / 4 = 0...3
1234

12 345
(3*1 + 2 - 1) / 4 = 1...0
1만 2345

123 456
(3*1 + 3 - 1) / 4 = 1...1
12만 3456

1 234 567
(3*2 + 1 - 1) / 4 = 1...2
123만 4567

12 345 678
(3*2 + 2 - 1) / 4 = 1...3
1234만 5678

123 456 789
(3*2 + 3 - 1) / 4 = 2...0
1억 2345만 6789

1 234 567 890
(3*3 + 1 - 1) / 4 = 2...1
12억 3456만 7890

10 000진법을 1 000진법으로 바꾸는 것은 그저 이를 거꾸로 하면 된다:
(4*끊어진 곳의 개수 + 가장 높은 자릿수가 있는 덩이의 자릿수의 개수 - 1) / 3

몫:

  • 0: 없음
  • 1: 싸우즌드(킬로)
  • 2: 밀리언(메가)
  • 3: 빌리언(기가)
  • 4: 트릴리언(테라)
  • 5: 쿼드릴리언(페타)

나머지:

  • 0: 일
  • 1: 십
  • 2: 백

1
(4*0 + 1 - 1) / 3 = 0...0
1

12
(4*0 + 2 - 1) / 3 = 0...1
12

123
(4*0 + 3 - 1) / 3 = 0...2
123

1234
(4*0 + 4 - 1) / 3 = 1...0
1 234

1만 2345
(4*1 + 1 - 1) / 3 = 1...1
12 345

12만 3456
(4*1 + 2 - 1) / 3 = 1...2
123 456

123만 4567
(4*1 + 3 - 1) / 3 = 2...0
1 234 567

1234만 5678
(4*1 + 4 - 1) / 3 = 2...1
12 345 678

1억 2345만 6789
(4*2 + 1 - 1) / 3 = 2...2
123 456 789

12억 3456만 7890
(4*2 + 2 - 1) / 3 = 3...0
1 234 567 890

보면 알겠지만 그때 그때 셈하는 것은 별로 할 짓이 안 된다. 사칙연산이 모두 써야하는 것이 어마어마하게 까다롭다.

어떤 것이든 익으려면 꾸준히 되풀이하는 것이 가장 좋기 마련이다. 마음에 드는 방법을 골라 곧잘 해보자.

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